اعداد فرما خواص حسابی جالبی دارند،
این اعداد در مسأله تقسیم محیط دایره به قسمت های مساوی
توسط پرگار دارای اهمیت بالایی هستند.
به ازای ... و3و2و1و0 = n اعدادی به صورت
 |
را اعداد فرما گویند، |
|
که با |
 |
نمایش داده می شود. |
|
هرگاه |
|
اول باشد |
آن را عدد اول فرما می نامیم.
|
|
همگی اعداد اولند: |
پیر فرما فکر می کردکه
|
همه اعداد |
|
اولند، |
اما اویلر ثابت کرد که
 |
اول نیست. |
اوآن را به صورت زیر تجزیه کرده است:
قضیه(1):
برای هرn>1 همه مقسوم علیه های اول
|
عدد فرمای |
|
|
به صورت |
 |
است. |
با توجه به قضیه بالا ثابت می کنیم ،
 |
عددی اول است. |
|
طبق قضیه بالا هر مقسوم علیه اول عدد |
 |
|
به صورت |
 |
است. |
ما به دنبال اعدادی هستیم که اول باشند
|
و کوچکتر از |
 |
|
تنها عددی که به صورت |
 |
|
و کوچکتر از |
|
است ، |
391 می باشد.اما 73556 بر 391 بخش پذیر نیست،
|
بنابراین |
|
اول نیست. |
قضیه(2):
به ازای n≥1 روابط زیر مابین اعداد فرما برقرار است:
قضیه (3) :
دو عدد متمایز فرما نسبت به هم اولند .
یعنی اگرn≠m باشد آنگاه:
طبق فرض مسئلهn≠m اگر m باشد داریم m≤n-1
|
بنابراین |
 |
|
طبق قضیه (2) داریم |
 |
|
که نتیجه می شود |
 |
|
عدد |
 |
را عاد می کند |
و از اینکه d مقسوم علیه مشترک
| و |
|
است . |
|
پس d مقسوم علیه |
|
می باشد. |
بنابراین d یک مقسوم علیه عدد 2 است.
در نتیجه d یا 2ویا1 است .
|
اما چون |
|
ها فردند |
بنابراین d فقط می تواند عدد 1 باشد.
*
اعداد فرما به سرعت افزایش می یابند :
 |
است. |
عددی بعدی فرما در یک مسیر صعودی
|
برابر با |
 |
می شود. |
|
عدد |
 |
|
بیش از |
 |
رقم دارد. |
